Mitä eroa näillä kursseilla on monissa Yhdysvaltain yliopistoissa, jotka tarjoavat sekvenssejä Calculus I, Cal II, Call III ja Real Analysis Usein kuulin, että Calculus viittaa synonyymeihin todellisen analyysin kanssa. Mutta selvästi he ovat erillisiä kursseja.


Vastaus 1:

Ne ovat erittäin erilaisia ​​kursseja yhdestä yksinkertaisesta syystä: todellisessa analyysissä sinun on tarkoitus todistaa asiat.

Calculus I: ssä ja II: ssa opit kuinka laskea rajat, johdannaiset, integraalit, Taylor-sarjat ja testata sarjojen ja integraalien konvergenssia - tiedät, standardi yhden muuttujan laskentatapaukset. Calculus III -ohjelmassa alkaa oppia soveltamaan näitä ideoita toimintoihin, joissa on monia muuttujia. Missään vaiheessa ei kuitenkaan opiteta todistamaan mitään näistä väitteistä, paitsi kenties joitain kiireisen ohjaajan esittämiä väitteitä.

Oikea analyysi on täysin erilainen - tämän luokan painopiste on oppia miksi kaikki toimii, ja kouluttaa sinut pystymään kirjoittamaan todisteita siitä, että se toimii. Kurssin loppuun mennessä tiedät kuinka todistaa, että funktio on jatkuva, sen sijaan että olettaisit olevansa. Tiedät kuinka todistaa, että jatkuvalla toiminnolla suljetulla ja rajoitetulla aikavälillä on absoluuttinen maksimiarvo. On erittäin epätodennäköistä, että käydään läpi kaikki tulokset laskosekvenssissä uudelleen, mutta sillä ei ole väliä: loppujen lopuksi sinulla on tarvitsemasi työkalut, jotta jos haluat istua ja todistaa nämä tulokset tiukasti , voit tehdä niin.

Koska todellinen analyysi on abstraktimpaa kuin laskentasekvenssi, se antaa sinun myös mennä pidemmälle. Yksi tärkeimmistä toteuteista varhaisessa kasvuna matemaatikkona oli, että pisteiden ja funktioiden sekvenssien välillä ei ollut todellista eroa: täsmälleen samat argumentit koskivat molempia, koska olimme varovaisia ​​määrittelemään kaiken abstraktisti, jotta se ei koske vain yhtä asiaa. Tämän avulla voit todistaa tulokset, kuten Stone – Weierstrass -lause, joka kertoo, että polynomi voi arvioida minkä tahansa jatkuvan toiminnon suljetulla aikavälillä mielivaltaisesti hyvin (“likimääräisen” tiukalle määritelmälle).


Vastaus 2:

Laskentatapa on algoritmien järjestelmä, ja tyypillisellä “laskutoimitus” -kurssillasi, jolla tarkoitetaan tosiasiallisesti ”erotuskerroksia” ja “kiinteitä laskuja”, painotetaan johdannaisten ja integraalien laskemisen oppimista. Jotkut yritykset yrittävät todistaa joitain asioita, mutta käytännössä tuskin kukaan todella ymmärtää taustalla olevia topologisia käsitteitä, ja kohteen lineaariset algebralliset perusteet jätetään suurelta osin huomiotta. Yhtenä esimerkkinä opit implisiittistä erottelua, mutta et opiskele implisiittistä funktiolausemaa, joka oikeuttaa tekniikan.

Pitkälle edennyt laskentakurssi kiertää takaisin yrittääkseen tuoda (jonkin verran) selvyyttä metriseen topologiaan ja lineaarisiin likimääräisiin perusteisiin sekä täyttää aikaisempien kurssien puuttuvat todisteet.

Joskus edistynyttä laskentaa kutsutaan todelliseksi analyysiksi, mutta minä henkilökohtaisesti käyttäisin sitä otsikkona kurssille, joka suorittaa differentiaalisen laskennan Banachin avaruusyhteydessä ja esittelee (ainakin) Lebesgue-integraation.


Vastaus 3:

Yksi tapa ajatella sitä on, että Calculus käyttää toimintoja tutkiakseen suhteita pistejoukkojen välillä euklidialaisissa tiloissa. Toiminnot ovat työkaluja, joita Calculuksessa käytetään tutkimaan suhteiden käsitettä pistejoukkojen välillä euklidisissa tiloissa.

Muokkaa kommentin perusteella:

Oikea analyysi käyttää funktioita tutkiakseen abstraktien pistejoukkojen välisiä suhteita tiloissa, joiden etäisyys toisistaan ​​on todellinen. Toiminnot ovat todellisessa analyysissä käytettäviä työkaluja sellaisten abstraktien pistejoukkojen välisten suhteiden käsitteen tutkimiseksi tiloissa, joissa niiden välinen etäisyys on todellinen.

Funktionaalinen analyysi käyttää operaattoreita toimintojen välisten suhteiden tutkimiseen. Operaattorit ovat toiminnallisessa analyysissä käytettäviä työkaluja toimintojen ryhmien välisten suhteiden tutkimiseksi.