Maallikon kannalta mikä ero on "kaarevan" avaruusajan ja säännöllisen kaarevuuden välillä?


Vastaus 1:

Avaruus-aika on vektorikenttä, joka käsittää avaruuden ja ajan, jotka ovat toisiaan täydentäviä. Mitä tämä tarkoittaa?

Avaruus-aika-kenttään vaikuttaa lähde massa (tai energia) ja, kuten kaikilla kenttillä, sillä on intensiteettigradientti. Kun tarkastelemme tämän intensiteettigradientin avaruus- ja aikakomponentteja, huomaat, että kokemuksemme avaruudesta muuttuu (jossain määrin), kun taas kokemuksemme ajasta muuttuu myös (tietyssä määrin). Kuitenkin yhdessä avaruusaikana tämä intensiteettigradientti on absoluuttinen (ts. Kaikille sama) - koska tila ja aika ovat toisiaan täydentäviä.

Siksi on kohtuullista ehdottaa, että avaruus-aikakenttäviivat suurten massojen välillä voisivat olla suorat. Avaruus- ja aikakomponentit ovat kaarevat. Ehkä jos voisit visualisoida 3 läpinäkyvää kuvaajaa päällekkäin, tämä saattaa olla parempi esitys käsiteltävänä olevasta 'kaarevuudesta'.


Vastaus 2:

”Säännöllinen kaarevuus” on ulkoinen… se on jonkin ulottuvuuden kaarevuus, jota ei ole kaarevassa esineessä.

Aika-ajan kaarevuus on "luontainen" ... ei ole muita kaarevia ulottuvuuksia, eikä sinun tarvitse mitään, jotta se toimisi.

Jos kuvittelet 2D-maailmaa ... maailman asukkaat eivät pysty havaitsemaan pinnan ulkoista kaarevuutta ... todellinen pinta voitaisiin rullata sylinteriin (esimerkiksi) ja se näyttäisi silti tasaiselta olentoille, jotka rajoittuvat näihin kahteen ulottuvuuteen. He pystyivät havaitsemaan sisäisen kaarevuuden tarkkailemalla geometrian sääntöjen muutosta pitsistä toisiinsa. He näkivät sen olevan kaareva, jos esimerkiksi kolmion sisäkulmien summa ei lisäisi 180 astetta.

On mahdollista saada sekä sisäinen että ulkoinen kaarevuus… eli 3D-pallon 2D-pinta.

Se on sikäli kuin maallikkojen ehdot vievät sinut ottamatta käyttöön väärinkäsityksiä.

Katso:

http: //web.cs.iastate.edu/~cs577 ...

Kaarevuus - valmistaja Wolfram MathWorld


Vastaus 3:

Määritelmä yleisen suhteellisuuden "kaarevalle" avaruus-ajalle

Yleisen suhteellisuussuhteen ”kaareva” tila-aika ei ole niin kaareva kuin vääristynyt. Vääristymä on, että etäisyys määritetään eri tavalla, tavalla, joka vaihtelee paikasta toiseen.

ForexamplePythagorasstheoremisreplacedbyamorecomplicatedtheorem.InthreedimensionalEuclideanspace(thesortofspaceweareaccustomedto),Pythagorasstheoremstatesthat,iftwopointsareseparated,asalongthreeaxesatrightanglestoeachother,bydistancesx,[math]y[/math],and[math]z[/math],thenthetotalseparation,[math]d[/math],isgivenbyFor example Pythagoras’s theorem is replaced by a more complicated theorem. In three-dimensional Euclidean space (the sort of space we are accustomed to), Pythagoras’s theorem states that, if two points are separated, as along three axes at right angles to each other, by distances x, [math]y[/math], and [math]z[/math], then the total separation, [math]d[/math], is given by

d2=x2+y2+z2.d^2=x^2+y^2+z^2.

Ingeneralrelativity,itbecomesmorecomplicated,becauseeachofthetermsx2andsooncanbemultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]1[/math],andthatvariesfromplacetoplace.Also,othertermsoccurontherighthandside,involving[math]x y[/math],[math]y z[/math],andalltheothercombinations,eachmultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]0[/math].Forconvenience,thewholesetofthosecoefficientsiswrappedupinasinglesetofnumberscalledthemetrictensor.In general relativity, it becomes more complicated, because each of the terms x^2 and so on can be multiplied by a coefficient that in general differs from [math]1[/math], and that varies from place to place. Also, other terms occur on the right-hand side, involving [math]x~y[/math], [math]y~z[/math], and all the other combinations, each multiplied by a coefficient that in general differs from [math]0[/math]. For convenience, the whole set of those coefficients is wrapped up in a single set of numbers called the “metric tensor”.

Vaikutus on kuin jos päällekkäin pala normaalia kuvaajapaperia, esim.

toisella grafiikkapaperilla,

Metrinen tenori osoittautuu käteväksi tapaksi ilmaista sellaisia ​​vääristymiä kuin yllä. Erityisesti se pystyy tarjoamaan täydellisen kuvauksen tällaisista vääristymistä. Tästä syystä käytän jäljempänä termiä “metrinen tenori” viitaten vääristyneeseen yleisrelatiivisuuden tila-aikaan, koska se eroaa säännöllisestä kaarevuudesta.

Metrisen tensorin käyttö yleisessä suhteellisuudessa on yleisen suhteellisuuden suhteen väitettä, jonka mukaan painovoimakentässä oleva testikappale, jolla ei ole muita siihen vaikuttavia voimia, liikkuu lyhyimmällä mahdollisella avaruusalueella minkä tahansa reitin varrella olevan pisteen välillä. Vaatimus lyhimmän tien seuraamisesta on loogisesti ekvivalentti (kohtuullisella laskenta bitillä) väitteelle, että kehon liikkuu samassa suunnassa avaruusaikana, ja ”saman suunnan” määritelmän määrittää metrinen tenori kohdassa jokainen piste polulla.

Painovoimaa ei siis määritellä voimana. Newtonin ensimmäisen liikelain mukaan elin, jolla ei ole siihen vaikuttavaa voimaa, liikkuu suoraa viivaa avaruusajassa. (Se ei ole niin, kuin hän sanoi, mutta tämä lausunto tarkoittaa samaa.) Suora viiva on lyhin polku vääristymättömän avaruus-ajan kahden pisteen välillä. Yleinen suhteellisuusteoria yleistää käsitteen "lyhin polku", niin että sama pätee kaareviin polkuihin, joita kehot seuraavat gravitaatiokentissä.

Suhde säännölliseen kaarevuuteen

On olemassa useita tapoja, joilla ”metrisen tenorin” käsite voidaan yhdistää kaarevuuden käsitteeseen.

  1. Generalrelativitymaybesaidtoassert(a)thatabodythatkeepsmovingstraightaheadmovesalongacurvedpathor,equivalently,(b)thattheshortestpathbetweentwopointsisingeneralacurvedline.Inthegraphsabove,inthecentralregion,apathcoversmoredistance,asdefinedpertheundistortedgraphpaper,whenitmovesthroughthecentralregion,asisshownbythecoordinatelinesinthecentralregionofthedistortedgraphpaper.Thus,ashortestpath,asdefinedbythedistortedgraphpaper,willtendtodeviatefromastraightlinetopassthroughthecentralarea.Inparticular,acirclecenteredinthegraphpaperistheshortestpathbetweenanytwopointsalongit,asdistanceisdefinedbythedistortedgraphpaper.Thus,thedistortedgraphpaperissomewhatanalogoustothegravitationalfieldaroundamassivebody.Ingeneral,knowingthemetrictensorinanndimensionalspace,itispossibletoconstructashapein[math]n+1[/math]dimensionalspace,suchthatthe[math]n[/math]dimensionalspaceisthesurfaceofthethusconstructedshapein[math]n+1[/math]dimensionalspace.Forexample,knowingthetwodimensionalmetrictensoreverywhereonthesurfaceofadonut,onecouldmathematicallyreconstructthethreedimensionalshapeofthedonut.TheequivalenthappensallthetimeonthesurfaceofoursphericalEarth.AtriangleonEarthssurfacehasinterioranglesthatadduptomorethan180°,andsimilardeviationsfromEuclideangeometryoccur.Idontknowwhetherlandsurveyorsusetheactualmathematicsofthemetrictensorintheircalculations,buteverytimetheysurveyalargepieceofland,theyderivethecurvatureofEarthssurfaceasasideeffectoftheircalculations.Generalrelativitydoesnotingeneralusetheconceptofacurved,higherdimensionalshape,otherthanwhenderivinggeneralsummariestostatethate.g.acertainmodelyieldsanopenorcloseduniverse.General relativity may be said to assert (a) that a body that keeps moving straight ahead moves along a curved path or, equivalently, (b) that the shortest path between two points is in general a curved line. In the graphs above, in the central region, a path covers more distance, as defined per the undistorted graph paper, when it moves through the central region, as is shown by the coordinate lines in the central region of the distorted graph paper. Thus, a “shortest path”, as defined by the distorted graph paper, will tend to deviate from a straight line to pass through the central area.In particular, a circle centered in the graph paper is the shortest path between any two points along it, as distance is defined by the distorted graph paper. Thus, the distorted graph paper is somewhat analogous to the gravitational field around a massive body.In general, knowing the metric tensor in an n-dimensional space, it is possible to construct a shape in [math]n+1[/math]-dimensional space, such that the [math]n[/math]-dimensional space is the surface of the thus-constructed shape in [math]n+1[/math]-dimensional space. For example, knowing the two-dimensional metric tensor everywhere on the surface of a donut, one could mathematically reconstruct the three-dimensional shape of the donut.The equivalent happens all the time on the surface of our spherical Earth. A triangle on Earth’s surface has interior angles that add up to more than 180°, and similar deviations from Euclidean geometry occur. I don’t know whether land surveyors use the actual mathematics of the metric tensor in their calculations, but every time they survey a large piece of land, they derive the curvature of Earth’s surface as a side effect of their calculations.General relativity does not in general use the concept of a curved, higher-dimensional shape, other than when deriving general summaries to state that e.g. a certain model yields an “open” or “closed” universe.

Vastaus 4:

Määritelmä yleisen suhteellisuuden "kaarevalle" avaruus-ajalle

Yleisen suhteellisuussuhteen ”kaareva” tila-aika ei ole niin kaareva kuin vääristynyt. Vääristymä on, että etäisyys määritetään eri tavalla, tavalla, joka vaihtelee paikasta toiseen.

ForexamplePythagorasstheoremisreplacedbyamorecomplicatedtheorem.InthreedimensionalEuclideanspace(thesortofspaceweareaccustomedto),Pythagorasstheoremstatesthat,iftwopointsareseparated,asalongthreeaxesatrightanglestoeachother,bydistancesx,[math]y[/math],and[math]z[/math],thenthetotalseparation,[math]d[/math],isgivenbyFor example Pythagoras’s theorem is replaced by a more complicated theorem. In three-dimensional Euclidean space (the sort of space we are accustomed to), Pythagoras’s theorem states that, if two points are separated, as along three axes at right angles to each other, by distances x, [math]y[/math], and [math]z[/math], then the total separation, [math]d[/math], is given by

d2=x2+y2+z2.d^2=x^2+y^2+z^2.

Ingeneralrelativity,itbecomesmorecomplicated,becauseeachofthetermsx2andsooncanbemultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]1[/math],andthatvariesfromplacetoplace.Also,othertermsoccurontherighthandside,involving[math]x y[/math],[math]y z[/math],andalltheothercombinations,eachmultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]0[/math].Forconvenience,thewholesetofthosecoefficientsiswrappedupinasinglesetofnumberscalledthemetrictensor.In general relativity, it becomes more complicated, because each of the terms x^2 and so on can be multiplied by a coefficient that in general differs from [math]1[/math], and that varies from place to place. Also, other terms occur on the right-hand side, involving [math]x~y[/math], [math]y~z[/math], and all the other combinations, each multiplied by a coefficient that in general differs from [math]0[/math]. For convenience, the whole set of those coefficients is wrapped up in a single set of numbers called the “metric tensor”.

Vaikutus on kuin jos päällekkäin pala normaalia kuvaajapaperia, esim.

toisella grafiikkapaperilla,

Metrinen tenori osoittautuu käteväksi tapaksi ilmaista sellaisia ​​vääristymiä kuin yllä. Erityisesti se pystyy tarjoamaan täydellisen kuvauksen tällaisista vääristymistä. Tästä syystä käytän jäljempänä termiä “metrinen tenori” viitaten vääristyneeseen yleisrelatiivisuuden tila-aikaan, koska se eroaa säännöllisestä kaarevuudesta.

Metrisen tensorin käyttö yleisessä suhteellisuudessa on yleisen suhteellisuuden suhteen väitettä, jonka mukaan painovoimakentässä oleva testikappale, jolla ei ole muita siihen vaikuttavia voimia, liikkuu lyhyimmällä mahdollisella avaruusalueella minkä tahansa reitin varrella olevan pisteen välillä. Vaatimus lyhimmän tien seuraamisesta on loogisesti ekvivalentti (kohtuullisella laskenta bitillä) väitteelle, että kehon liikkuu samassa suunnassa avaruusaikana, ja ”saman suunnan” määritelmän määrittää metrinen tenori kohdassa jokainen piste polulla.

Painovoimaa ei siis määritellä voimana. Newtonin ensimmäisen liikelain mukaan elin, jolla ei ole siihen vaikuttavaa voimaa, liikkuu suoraa viivaa avaruusajassa. (Se ei ole niin, kuin hän sanoi, mutta tämä lausunto tarkoittaa samaa.) Suora viiva on lyhin polku vääristymättömän avaruus-ajan kahden pisteen välillä. Yleinen suhteellisuusteoria yleistää käsitteen "lyhin polku", niin että sama pätee kaareviin polkuihin, joita kehot seuraavat gravitaatiokentissä.

Suhde säännölliseen kaarevuuteen

On olemassa useita tapoja, joilla ”metrisen tenorin” käsite voidaan yhdistää kaarevuuden käsitteeseen.

  1. Generalrelativitymaybesaidtoassert(a)thatabodythatkeepsmovingstraightaheadmovesalongacurvedpathor,equivalently,(b)thattheshortestpathbetweentwopointsisingeneralacurvedline.Inthegraphsabove,inthecentralregion,apathcoversmoredistance,asdefinedpertheundistortedgraphpaper,whenitmovesthroughthecentralregion,asisshownbythecoordinatelinesinthecentralregionofthedistortedgraphpaper.Thus,ashortestpath,asdefinedbythedistortedgraphpaper,willtendtodeviatefromastraightlinetopassthroughthecentralarea.Inparticular,acirclecenteredinthegraphpaperistheshortestpathbetweenanytwopointsalongit,asdistanceisdefinedbythedistortedgraphpaper.Thus,thedistortedgraphpaperissomewhatanalogoustothegravitationalfieldaroundamassivebody.Ingeneral,knowingthemetrictensorinanndimensionalspace,itispossibletoconstructashapein[math]n+1[/math]dimensionalspace,suchthatthe[math]n[/math]dimensionalspaceisthesurfaceofthethusconstructedshapein[math]n+1[/math]dimensionalspace.Forexample,knowingthetwodimensionalmetrictensoreverywhereonthesurfaceofadonut,onecouldmathematicallyreconstructthethreedimensionalshapeofthedonut.TheequivalenthappensallthetimeonthesurfaceofoursphericalEarth.AtriangleonEarthssurfacehasinterioranglesthatadduptomorethan180°,andsimilardeviationsfromEuclideangeometryoccur.Idontknowwhetherlandsurveyorsusetheactualmathematicsofthemetrictensorintheircalculations,buteverytimetheysurveyalargepieceofland,theyderivethecurvatureofEarthssurfaceasasideeffectoftheircalculations.Generalrelativitydoesnotingeneralusetheconceptofacurved,higherdimensionalshape,otherthanwhenderivinggeneralsummariestostatethate.g.acertainmodelyieldsanopenorcloseduniverse.General relativity may be said to assert (a) that a body that keeps moving straight ahead moves along a curved path or, equivalently, (b) that the shortest path between two points is in general a curved line. In the graphs above, in the central region, a path covers more distance, as defined per the undistorted graph paper, when it moves through the central region, as is shown by the coordinate lines in the central region of the distorted graph paper. Thus, a “shortest path”, as defined by the distorted graph paper, will tend to deviate from a straight line to pass through the central area.In particular, a circle centered in the graph paper is the shortest path between any two points along it, as distance is defined by the distorted graph paper. Thus, the distorted graph paper is somewhat analogous to the gravitational field around a massive body.In general, knowing the metric tensor in an n-dimensional space, it is possible to construct a shape in [math]n+1[/math]-dimensional space, such that the [math]n[/math]-dimensional space is the surface of the thus-constructed shape in [math]n+1[/math]-dimensional space. For example, knowing the two-dimensional metric tensor everywhere on the surface of a donut, one could mathematically reconstruct the three-dimensional shape of the donut.The equivalent happens all the time on the surface of our spherical Earth. A triangle on Earth’s surface has interior angles that add up to more than 180°, and similar deviations from Euclidean geometry occur. I don’t know whether land surveyors use the actual mathematics of the metric tensor in their calculations, but every time they survey a large piece of land, they derive the curvature of Earth’s surface as a side effect of their calculations.General relativity does not in general use the concept of a curved, higher-dimensional shape, other than when deriving general summaries to state that e.g. a certain model yields an “open” or “closed” universe.