Kuinka kirjoitat 85 erotuksena kahden ruudun välillä?


Vastaus 1:

Aion ratkaista tällaisen tiedetyylin, ei matematiikan.

Ehkä yksinkertaisin tapa löytää nopea halpa vastaus on huomata malli peräkkäisissä neliöissä:

2212=41=32^2 - 1^2 = 4–1 = 3

3222=94=53^2 - 2^2 = 9–4 = 5

4232=169=74^2 - 3^2 = 16–9 = 7

Tämäpä kiintoisaa. Eroavatko peräkkäiset neliöt peräkkäisten parittomien lukujen perusteella? Yritetään tehdä malli:

Miksi peräkkäisten neliöiden erot ovat yhtä suuret parittomien lukujen sekvenssin kanssa?, Math Stack Exchange.

Ok, katson oransseja L-muotoja. Tämä saattaa olla hyvä malli. Kannattaa jauhaa hiukan algebraa selville saamiseksi. Katsotaan, voimmeko löytää kaavan peräkkäisten neliöiden erolle:

n2(n1)2=n2n2+2n1=2n1n^2 - (n-1)^2 = n^2 -n^2 +2n-1 = 2n-1

Joo. Joten voimme näyttää vain matematiikasta, että peräkkäiset neliöt eroavat peräkkäisillä parittomilla lukuilla. Emme tarvinnut tietoja ja mallia. Huh.

Joka tapauksessa nyt meidän on vain ratkaistava

2n1=85.2n-1 = 85.

n=43.n = 43.

Niin

432422=85. 43^2 - 42^2 = 85.

Uh ... lemme aukeaa laskin.

Whew, joo, se on totta. (Sain n = 42 ensimmäistä kertaa, mutta laskin pelasti minut ja muokkasin vastausta.)

Lyön vetoa, että tämä ei ole ainoa vastaus. Se on vain yksinkertainen tapa löytää yksi vastaus.


Vastaus 2:

Oletetaan, että sinulla on positiivisia kokonaislukuja A, B sellaisia, että

A2B2=85A^2 - B^2 = 85

.

Faktorointi neliöero:

A2B2=(A+B)(AB)=85A^2-B^2 = (A+B)(A-B)=85

Meillä on se

A>BA>B

ja meillä on se

A+B=MA+B = M

AB=NA-B = N

missä

MN=85MN = 85

ja

M>NM>N

. 85 voidaan ottaa huomioon vain muodossa 85 * 1 ja 17 * 5.

2A=M+N2A = M+N

ja

2B=MN2B = M-N

, niin

M+NM+N

ja

MNM-N

täytyy olla parillinen, mikä tapahtuu vain, kun M ja N ovat molemmat parilliset tai molemmat parittomat.

Yleistäminen: Jos “85” olisi jokin muu luku, niin että yhtälössä olisi kokonaislukuratkaisuja, “85” on oltava pariton (niin että M ja N ovat molemmat pariton) tai “85” on jaettava seuraavilla: 4 (niin, että M ja N voidaan valita molemmiksi tasaisiksi). Jos ”85” jaetaan 4: llä, niin M: n ja N: n on oltava molemmat yhtäläisiä tekijöitä ”85: lle”.


Vastaus 3:

On todennäköisesti muutamia tapoja ratkaista tämäntyyppiset ongelmat, mutta mielestäni seuraava on kaikkein suoraviivaisin.

Oletetaan, että on olemassa lukuinen ratkaisu ja katsotaan, mistä se vie meidät.

Oletetaan, että kaksi ruutua ovat a ja b. Sitten voimme kirjoittaa: (seuraavissa 2 tarkoittaa neliötä)

a2 - b2 = 85

Voimme laskea vasen puoli (ab) (a + b) niin, että

(ab) (a + b) = 85

Nyt etsimme tekijöitä 85. Koska luku päättyy viiteen, se on jaollinen viidellä. Tämä antaa 5 * 17. Nämä ovat molemmat alkuluvut, joten muita tekijöitä ei ole. Paitsi (1 * 85).

Joten: (ab) (a + b) = 5 * 17

Joten voimme olettaa: (ab) = 5 (a + b) = 17

Lisäämällä nämä yhteen elliminaattiin b saadaan: 2a = 22, jolloin saadaan a = 11

Joten 11-b = 5 antaa b = 6

Joten a = 11 ja b = 6

Testattava: 11 ruutua = 121, 6 ruutua = 36,121 - 36 = 85

Kokeillaan toista mahdollisuutta (1 * 85) :( ab) (a + b) = 1 * 85. (Ab) = 1, (a + b) = 85Tämä antaa 2a = 86 siten, että a = 43 ja b = 42

Joten on tarkalleen kaksi ratkaisua: (1) a = 11 ja b = 6 (2) a = 43 ja b = 42